Differentialgleichungen

hier nochmal der Link der Seite, mit der ihr heute morgen Schwingungen angeschaut habt.
http://www.javaview.de/demo/PaExprOde.html


Hier die Anleitungen von heute morgen:

Ihr kennt die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators s″(t) = −D/m s(t) 

und ihre Lösung  s(t) = s_max sin(ω t)    mit ω²=D/m.

Wie funktioniert das Java-Fenster?

Es handelt sich um eine sog. Gleichung zweiter Ordnung, weil die zweite Ableitung von s in Abhängigkeit von s gebracht wird. Im Fenster steht: Order: 2

Statt s wird das Symbol y verwendet, statt s′ das Symbol dy.  Gebt wie im Bild die Gleichung y″=−y rechts oben im Fenster ein. Sie bedeutet s″(t) = − s(t), es ist hier also D/m=1.

Mit der Maus könnt ihr den Anfangspunkt in x- und in y-Richtung verschieben. Dem entsprechen verschiedene Anfangszeiten t_anf und Anfangsauslenkungen s(t_anf). Beobachtet, wie die Kurve davon abhängt. Rechts unten steht eine 0. Sie entspricht der Anfangsgeschwindigkeit, s′(t_anf)=0. Verändert den Eintrag und beobachtet, was passiert.

Die oberen beiden Schieberegler und ihre Einträge bestimmen, für wie lange und mit welcher Schrittweite, d.h. Genauigkeit, gerechnet wird. Verändert auch diese und beobachtet.

Eigene Differentialgleichungen

Gebt andere Werte für D/m ein, also y″=−2y und andere Faktoren. Bestimmt die Periode der Schwingung und vergleicht mit der Formel aus dem Unterricht.

Die Gleichung für das Schwerependel lautet s″(t) = −g/l sin(s(t)), ohne die Näherung für kleine Winkel. Gebt sie ein für g=10m/s² und l=1m. Bestimmt die Periode. Passt es zur bekannten Formel? Probiert auch verschiedene Amplituden aus, auch mit s(t_anf) nahe bei π, d.h. Pendel fast senkrecht nach oben.

Versucht andere nicht-harmonische Ozillatoren, so wie s″(t) = − s(t)³ und s″(t) = −sign(s(t)). Wie hängt nun die Periodendauer von der Anfangsamplitude ab? (Hinweis: Die Funktion sign(x) ist +1, wenn x>0, −1, wenn x<0, und 0 für x=0.